Gleichsetzungsverfahren • Schritt für Schritt Anleitung (2024)

Was ist das Gleichsetzungsverfahren? Und wie kannst du gleichsetzen in Mathe nutzen, um Aufgaben mit linearen Gleichungssystemen zu lösen?Das zeigen wir dir hier und im Video anhand von vielen Beispielen!

Gleichsetzungsverfahren einfach erklärt

Mit dem Gleichsetzungsverfahren kannst du die Lösung von einem linearen Gleichungssystem herausfinden. Dazu löst du beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt die entsprechenden Terme gleich. Damit kannst du zum Beispiel das folgende lineare Gleichungssystem berechnen:

(I) 2x – 3y = -2

(II) -3x + 6y = 0

Wie du bei Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren vorgehst, zeigt dir diese Schritt-für-Schritt-Anleitung:

Probiere das direkt an ein paar Gleichsetzungsverfahren Aufgaben aus!

Gleichsetzungsverfahren —Beispiel

Hier siehst du ein System aus zwei linearen Gleichungen. Das kannst du mit dem Gleichsetzungsverfahren Schritt-für-Schritt lösen!

(I) 2x – 3y = -2

(II) -3x + 6y = 0

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach einer Variablen um. Wir entscheiden uns für die Variable x.

(I) 2x – 3y = -2 | + 3y

2x = -2 + 3y | : 2

(I‘) x = -1 + 1,5y

(II) -3x + 6y = 0 | – 6y

-3x = -6y | : (-3)

(II‘) x= 2y

Schritt 2: Du hast nun zwei Gleichungen für die Variable x. Die kannst du danngleichsetzen:

(I‘) = (II‘)

-1 + 1,5y = 2y

Schritt 3: Jetzt hast du eine Gleichung, wo nur noch die Variable y vorkommt. Forme sienach y um.

-1 + 1,5y = 2y | -1,5y

-1 = 0,5y | : 0,5

y = -2

Schritt 4: Es fehlt dir jetzt nur noch der Wert für die Variable x. Dafür setzt du y=-2 entweder in Gleichung (I‘) oder (II‘) ein — zum Beispiel in (II‘):

y = -2 in (II‘) x = 2 · (-2)

x = -4

Probe: Um zu überprüfen, ob die Werte x=-4und y = -2 richtig sind, setzt du sie in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) ein:

(I) 2 · (-4) – 3 · (-2) = -2

(II) -3 · (-4) + 6 · (-2) = 0

Super! Beide Gleichungen sind erfüllt! Das heißt du hast beim Gleichungsverfahren in der Aufgabe alles richtig gemacht!

Gleichsetzungsverfahren: Anzahl der Lösungen

Ein lineares Gleichungssystem kann entweder keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder sogar unendlich viele Lösungen haben. Mit dem Gleichsetzungsverfahren findest du heraus, wie viele Lösungen es gibt.

Keine Lösung

Wenn das lineare Gleichungssystem keine Lösung hat, gibt es keine Werte für x und y, für die beide Gleichungen aufgehen. Das bedeutet, die Lösungsmenge ist leerL = { }. Egal welche Wertedu für x und y in die Gleichung einsetzt, es entsteht immer eine falsche Aussage.Schau es dir an einem Beispiel an:

Betrachte zuerst das lineare Gleichungssystem

(I) -3x + 6y = 3

(II) 2x – 4y = 3

Schritt 1: Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formst du zuerst beide Gleichungen nach xum.

(I‘) x = -1 + 2y

(II‘) x = 1,5 + 2y

Schritt 2: Dann setzt du (I‘) und (II‘) gleich.

(I‘) = (II‘)

-1 + 2y = 1,5 + 2y

Schritt 3: Löse die Gleichung auf. Du erhältst eine falsche Aussage:

0 = 2,5

Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem in dieser Aufgabe zum Gleichsetzungsverfahrenkeine Lösung besitzt. Lösungsmenge L = { }.

Eindeutige Lösung

Beim Gleichsetzungsverfahren für lineare Gleichungssystemekannst du auch auf genau eine Lösung kommen. Es gibt also genau einen Wert für x und genau einen Wert für y, bei der die beiden Gleichungen aufgehen. Die Lösungsmenge besteht dann aus genau einemZahlenpaar L = {(x;y)}. Hier siehst du ein Beispiel dazu:

(I) -2x + 3y= -12

(II) x – 2y = 6

Schritt 1:

(I‘) x = 6 + 1,5y

(II‘) x = 6 + 2y

Schritt 2:

(I‘) = (II‘)

6 – 1,5y = 6 + 2y

Schritt 3: Du erhältst damit eineGleichung, die du direkt nach y auflösen kannst.

0 = 3,5y | : 3,5

y = 0

Schritt 4:

y = 0 in (I‘) x = 6 – 1,5 · 0

x = 6

Somit hast du mit x = 6 und y = 0 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems. Lösungsmenge L = {(6;0)}.

Unendlich viele Lösungen

Es kann auch passieren, dass du bei Gleichsetzungsverfahren Aufgabenunendlich viele Zahlenpaare als Lösungen bekommst. Hat dein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, entsteht immer eine wahre Aussage – egal welche Wertedu für x und y einsetzt.

Schau es dir wieder an einem Beispiel an:

(I) 2x – 5y = 7

(II) -4x + 10y = -14

Schritt 1:

(I‘) x = 3,5 + 2,5y

(II‘) x = 3,5 + 2,5y

Schritt 2:

(I‘) = (II‘)

3,5 + 2,5y = 3,5 + 2,5y

Schritt 3: Versuchst du die Gleichung zu lösen, entsteht eine Aussage, die immer wahr ist:

0 = 0

Das heißt, dass du für y jeden beliebigenWert einsetzen kannst. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist somit . Also hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dazu zählen zum Beispiel {(1;6), (2;8,5),…}.

Gleichsetzungsverfahren Übungen

Schau dir nun ein paar Übungen und Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren an. Betrachte dafür das lineare Gleichungssystem

(I) 2x + 2y = 2

(II) x – 4y = -14

Schritt 1: Forme zuerst beide Gleichungen nach einer Variablen um. Wir wählen die Variable x.

(I‘) x = 1 – y

(II‘) x = -14 + 4y

Schritt 2: Nun setzt du Gleichung (I‘) mit Gleichung (II‘) gleich.

(I‘) = (II‘)

1 – y =-14 + 4y

(II“) -5y = -15

Schritt 3: Somit hast du eine Gleichung, die nur noch von der Variable y abhängt, also löst du die Gleichung nach y auf und bekommst somit den Wert für y.

(II“) -5y = -15 | : (-5)

y = 3

Schritt 4: Nun kannst du auch die Variable x bestimmen, indem du y = 3 in die Gleichung (I‘) einsetzt.

y = 3 in (I‘) x = 1 – 3

x = -2

Damit hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren die Lösung x = -2 und y = 3des linearen Gleichungssystems bestimmt.

Probe: Um noch zu überprüfen, ob du das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet hast und somit die Lösung richtig ist, setzt du x = -2 und y = 3 in die Gleichungen (I) und (II) ein.

(I) 2 · (-2) + 2 · 3 = 2

(II) -2 – 4 · 3 = -14

Da beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung richtig und du hast das Gleichsetzungsverfahren korrektangewendet.

Gleichsetzungsverfahren Aufgaben

Im folgenden Abschnitt stellen wir dir zum Gleichsetzungsverfahren zwei Aufgaben mit Lösungen zur Verfügung. Damit kannst du selbst testen, ob du es verstanden hast!

Aufgabe 1: 2 Gleichungen 2 Variablen

Verwende das Gleichsetzungsverfahren, um das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen.

(I) -4x + 2y = -10

(II) 3x – 2y = 8

Lösung Aufgabe 1

Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formst du die beiden Gleichungen erst einmal nach y um und erhältst damit die Gleichungen

(I‘) y = -5 + 2x

(II‘) y = -4 + 1,5x

Setzt du nun die Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich, so bekommst du die Gleichung

(I‘) = (II‘)

-5 + 2x = -4 + 1,5x

(I“) 0,5x = 1

Diese Gleichung enthält nur noch die Variable x. Formst du die Gleichung (I“) also nach x um, so erhältst du für x den Wert

x = 2

Um die Variable y zu bestimmen, setzt du x = 2 in Gleichung (II‘) ein.

x = 2 in (II‘) y = -4 + 1,5 · 2

y = -1

Somit hast du mit x = 2 und y = -1 die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt. Zum Schluss kannst du noch die Werte x = 2 und y = -1in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) einsetzen, um zu überprüfen, ob du mit dem Gleichsetzungsverfahren die richtige Lösung berechnet hast.

(I) -4 · 2 + 2 · (-1) = -10

(II) 3 · 2 – 2 · (-1) = 8

Wie du siehst, sind beide Gleichungen erfüllt, damit hast du das Gleichsetzungsverfahren richtig angewendet und die Variablen x und y richtig berechnet.

Aufgabe 2: Gleichsetzungsverfahren mit 2 Gleichungen

Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren das lineare Gleichungssystem

(I) 3x – 2y = -13

(II) 4x + 2y = -8

Lösung Aufgabe 2

Für das Gleichsetzungsverfahren formst du zuerst beide Gleichungen nach y um. Damit erhältst du die Gleichungen

(I‘) y = 6,5 + 1,5x

(II‘) y = -4 – 2x

Jetzt kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Dafür setzt du die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich.

(I‘) = (II‘)

6,5 + 1,5x = -4 – 2x

Somit erhältst du mit

3,5x = -10,5

eine neue Gleichung, die nur noch von der Variablen x abhängt. Löst du die Gleichung nun nach x auf, so erhältst du

x = -3

Als nächstes kannst du mit den Gleichungen (I‘) und (II‘) den Wert für y berechnen, indem du x = -3 in eine der beiden Gleichungen einsetzt. Eingesetzt in (II‘) erhältst du

x = -3 in (II‘) y = -4 – 2 · (-3)

y = 2

Insgesamt hast du mit dem Gleichsetzungsverfahren die Lösung x = -3 und y = 2 des linearen Gleichungssystems bestimmt. Um die Lösung auf Richtigkeitzu überprüfen, setzt du die Werte für x und y in die Gleichungen (I) und (II) ein.

(I) 3 · (-3) – 2 · 2 = -13

(III) 4 · (-3) + 2 · 2 = -8

Da beide Gleichungen erfüllt sind, hast du die Lösung richtig berechnet und das Gleichsetzungsverfahren korrekt angewendet.

Weitere Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme

Es gibt neben dem Gleichsetzen in Mathe auch noch andere Verfahren, mit denen du Gleichungssysteme lösen kannst. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themenan:

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• Einsetzungsverfahren
• Gaußsches Eliminationsverfahren
• Cramersche Regel
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